Kali ini saya akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi. Bagi adik-adik yang ingin mengetahui seperti apa cara mencari himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi. Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini sampai selesai yach.
Cara mencari himpunan penyelesian SPLTV sebenarnya tidaklah begitu sulit, asalkan sebelumnya adik-adik telah memahami materi sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) . Karena pada dasarnya cara yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV hampir sama dengan cara mencari himpunan penyelesaian SPLDV.
Namun sebelum kita masuk ke inti pembahasan artikel ini, alangkah baiknya sobat Aisyahpedia mengetahui terlebih dahulu apa itu definisi dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Metode Eliminasi itu sendiri.
Pengertian SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut adalah satu. Bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Keterangan:
a1, a2, a3 = koefisien dari x
b1, b2, b3 = koefisien dari y
c1, c2, c3 = koefisien dari z
d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Pengertian Metode Eliminasi
Metode Eliminasi adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara menghilangkan atau mengeliminasi salah satu variabel yang ada, sehingga tersisa (diperoleh) sebuah persamaan dengan satu variabel.Sebelum kita mengeliminasi suatu variabel tertentu dalam suatu persamaan, Pastikan bahwa variabel yang akan dihilangkan (dieliminasi) haruslah variabel yang memiliki koefisien yang sama, dan jika variabel tersebut tidak memiliki koefisien yang sama, maka kita harus samakan dahulu koefisiennya dengan cara meng-kalikannya dengan suatu konstanta tertentu agar memiliki koefisien yang sama. Untuk lebih jelasnya, silahkan dilanjutkan membaca artikel ini sampai selesai yach ^_^ .
Metode Penyelesaian SPLTV
Untuk mencari atau menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang dapat digunakan, diantaranya adalah :
- Metode Eliminasi
- Metode Substitusi
- Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
- Metode Determinan Matriks
Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari / menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi beserta contoh soalnya.
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
- Pilih bentuk variabel yang paling sederhana
- Eliminasi salah satu variabel (misal x) sehingga diperoleh SPLDV
- Eliminasi salah satu variabel SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu variabel
- Eliminasi variabel lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai variabel yang kedua
- Tentukan nilai variabel ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.
Supaya adik-adik lebih memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan menggunakan metode eliminasi. Berikut ini ada beberapa contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) metode eliminasi dan penyelesainnya
#Contoh Soal 1
Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode eliminasi. 2x − y − z = 3
3x + y + 2z = 13
x + 2y − 3z = 4
PEMBAHASAN :
Langkah Pertama, Kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ke-tiga persamaan di atas, variabel yang paling sederhana adalah variabel y sehingga kita akan eliminasi y terlebih dahulu.
Langkah Kedua, Eliminasi salah satu variabel (y) sehingga diperoleh SPLDV
#Dari Pers. 1 dan Pers. 2
2x − y − z = 3
3x + y + 2z = 13 [ + ]
5x + z = 16 ...........(Pers. 4)
#Dari Pers. 2 dan Pers. 3
Note : Untuk menghilangkan variabel y, maka kita harus samakan dulu koefisiennya. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 2.
3x + y + 2z = 13 |x 2|
x + 2y − 3z = 4 |x 1|
6x + 2y + 4z = 26
x + 2y − 3z = 4 [ − ]
5x + 7z = 22 ...........(Pers. 5)
Kita peroleh SPLDV sebagai berikut :
5x + z = 16
5x + 7z = 22
Langkah ke 3 & ke 4, Kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi
#Eliminasi variabel x, untuk memperoleh nilai z :
5x + z = 16
5x + 7z = 22 [ − ]
− 6z = − 6
z = 1
#Eliminasi variabel z, untuk memperoleh nilai x :
5x + z = 16 |x 7|
5x + 7z = 22 |x 1|
35x + 7z = 112
5x + 7z = 22 [ − ]
30x = 90
x = 3
Langkah Terakhir,Kita Substitusikan nilai x = 3 dan z = 1, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x − y − z = 3 sehingga kita peroleh :
⇒ 2x – y – z = 3
⇒ 2(3) – y – (1) = 3
⇒ 6 – y – 1 = 3
⇒ 5 – y = 3
⇒ – y = 3 – 5
⇒ – y = – 2
⇒ y = 2
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 3, y = 2 dan z = 1. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(3, 2, 1)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x − y − z = 3
⇒ 2(3) − (2) – (1) = 3
⇒ 6 − 2 – 1 = 3
⇒ 3 = 3 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + 2z = 13
⇒ 3(3) + (2) + 2(1) = 13
⇒ 9 + 2 + 2 = 13
⇒ 13 = 13 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x + 2y − 3z = 4
⇒ (3) + 2(2) − 3(1) = 4
⇒ 3 + 4 − 3 = 4
⇒ 4 = 4 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
#Contoh Soal 2
Ani, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk adalah .....PEMBAHASAN :
Misalkan :
x = Harga Apel per-kg
y = Harga Anggur per-kg
z = Harga Jeruk per-kg
Langkah 1.
Buat Model Matematikanya
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000
x + 3y + 2z = 80.000
Langkah 2.
Eleminasi salah satu variabel, kita pilih variabel z yang akan dieliminasi, hingga diperoleh SPLDV
#Dari Pers. 1 dan Pers. 2
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000 [ − ]
−x + y = 6.000 ...........(Pers. 4)
#Dari Pers. 2 dan Pers. 3
Note : Untuk menghilangkan variabel z, maka kita harus samakan dulu koefisiennya. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 2.
3x + y + z = 61.000 |x 2|
x + 3y + 2z = 80.000 |x 1|
6x + 2y + 2z = 122.000
x + 3y + 2z = 80.000 [ − ]
5x − y = 42.000 ...........(Pers. 5)
Kita peroleh SPLDV sebagai berikut :
−x + y = 6.000
5x − y = 42.000
Langkah ke 3 & ke 4, Kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi
#Eliminasi variabel y, untuk memperoleh nilai x :
−x + y = 6.000
5x − y = 42.000 [ + ]
4x = 48.000
x = 12.000
#Eliminasi variabel x, untuk memperoleh nilai y :
−x + y = 6.000 |x 5|
5x − y = 42.000 |x 1|
−5x + 5y = 30.000
5x − y = 42.000 [ + ]
4y = 72.000
y = 18.000
Langkah Terakhir,Kita Substitusikan nilai x = 12.000 dan y = 18.000, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x + 2y + z = 67.000 sehingga kita peroleh :
⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + z = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + z = 67.000
⇒ 60.000 + z = 67.000
⇒ z = 67.000 − 60.000
⇒ z = 7.000
Jadi, harga Apel per kg adalah Rp.12.000, harga Anggur per kg adalah Rp.18.000 , dan harga Jeruk per kg adalah Rp.7.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + 7.000 = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + 7.000 = 67.000
⇒ 67.000 = 67.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + z = 61.000
⇒ 3(12.000) + (18.000) + (7.000) = 61.000
⇒ 36.000 + 18.000 + 7.000 = 61.000
⇒ 61.000 = 61.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x + 3y + 2z = 80.000
⇒ (12.000) + 3(18.000) + 2(7.000) = 80.000
⇒ 12.000 + 54.000 + 14.000 = 80.000
⇒ 80.000 = 80.000 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
Demikianlah artikel kali ini yang dapat saya sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi dapat membantu sobat Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang belajar matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam Sukses & Happy Learning....!!!
Related Posts
Tambahkan Komentar Sembunyikan