Hallo sobat Aisyahpedia, Kali ini admin akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan Metode Substitusi. Bagi adik-adik yang ingin mengetahui seperti apa cara mencari himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode Substitusi. Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini sampai selesai yah.
Namun sebelum kita masuk ke inti pembahasan artikel ini, alangkah baiknya sobat Aisyahpedia mengetahui terlebih dahulu apa itu definisi dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Metode Substitusi itu sendiri.
Pengertian SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut adalah satu. Bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Keterangan:
a1, a2, a3 = koefisien dari x
b1, b2, b3 = koefisien dari y
c1, c2, c3 = koefisien dari z
d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Pengertian Metode Substitusi
Metode substitusi adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya.
Cara Penyelesaian SPLTV
Untuk mencari atau menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang dapat digunakan, diantaranya adalah :
- Metode Eliminasi
- Metode Substitusi
- Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
- Metode Determinan Matriks
Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari atau menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode subtitusi beserta contoh soalnya.
Adapun langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.
Pertama:
Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Kedua:
Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Ketiga:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
Agar adik-adik dapat lebih memahami bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode substitusi. Silahkan adik-adik pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya di bawah ini.
#Contoh Soal 1
Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode substitusi.x + 2y – z = 3
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
PEMBAHASAN :
Pertama,
Kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ x = 3 – 2y + z
Kedua,
Setelah itu, Substitusikan variabel X ke dalam persamaan kedua dan persamaan ketiga sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
#Substitusikan Variabel X ke dalam pers. Kedua SPLTV
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(3 – 2y + z) – y + z = 6
⇒ 6 – 4y + 2z – y + z = 6
⇒ – 5y + 3z + 6 = 6
⇒ – 5y + 3z= 6 - 6
⇒ – 5y + 3z = 0 .......Pers.(1)
#Substitusikan Variabel X ke dalam pers. Ketiga SPLTV
⇒x – 3y + z = –2
⇒3 – 2y + z – 3y + z = –2
⇒ –5y + 2z + 3 = –2
⇒ –5y + 2z = –2 – 3
⇒ –5y + 2z = –5 .......Pers.(2)
Kita peroleh SPLDV sebagai berkut :
– 5y + 3z = 0
–5y + 2z = –5
Ketiga,
Selanjutnya, kita selesaikan SPLDV diatas dengan metode substitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Misalnya kita pilih persamaan yang pertama.
⇒ – 5y + 3z = 0
⇒ – 5y = –3z
⇒ y =
3
5
z#Substitusikan variabel y kedalam persamaan kedua SPLDV:
⇒ –5y + 2z = –5
⇒ –5
⇒ –3z + 2z = –5
⇒ – z = –5
⇒ z = 5
#Selanjutnya, Substitusikan nilai Z = 5 , ke salah satu SPLDV. Misalnya kita pilih pers. – 5y + 3z = 0 , sehingga kita peroleh :
⇒ – 5y + 3z = 0
⇒ – 5y + 3(5) = 0
⇒ – 5y + 15 = 0
⇒ – 5y = –15
⇒ y = 3
Terakhir,
Kita Substitusikan nilai y = 3 dan z = 5, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. x + 2y – z = 3 sehingga kita peroleh :
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ x + 2.3 – 5 = 3
⇒ x + 6 – 5 = 3
⇒ x + 1 = 3
⇒ x = 3 – 1
⇒ x = 2
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(2, 3, 5)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ 2 + 2(3) – 5 = 3
⇒ 2 + 6 – 5 = 3
⇒ 3 = 3 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(2) – 3 + 5 = 6
⇒ 4 – 3 + 5 = 6
⇒ 6 = 6 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x – 3y + z = –2
⇒ 2 – 3(3) + 5 = –2
⇒ 2 – 9 + 5 = –2
⇒ –2 = –2 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
#Contoh Soal 2
Harga 2 kg mangga , 2 kg jeruk , dan 1 kg anggur adalah Rp.70.000,00 . Harga 1 kg Mangga , 2 kg jeruk , dan 2 kg anggur adalah Rp.90.000,00 . Jika harga 2 kg mangga , 2 kg jeruk , dan 3 kg anggur Rp.130.000,00 Maka harga 1 kg mangga, 1 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah ?PEMBAHASAN :
Misalkan :
x = Harga mangga per kg
y = Harga jeruk per kg
z = Harga anggur per kg
Langkah 1, Buat Model Matematikanya
2x + 2y + z = 70.000
x + 2y + 2z = 90.000
2x + 2y + 3z = 130.000
Langkah 2,
Kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel z sebagai fungsi x dan y sebagai berikut.
⇒ 2x + 2y + z = 70.000
⇒ z = – 2x – 2y + 70.000
Langkah 3,
Setelah itu, Substitusikan variabel Z ke dalam persamaan kedua dan persamaan ketiga sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
#Substitusikan Variabel Z ke dalam pers. Kedua SPLTV
⇒ x + 2y + 2z = 90.000
⇒ x + 2y + 2(– 2x – 2y + 70.000) = 90.000
⇒ x + 2y – 4x – 4y + 140.000 = 90.000
⇒ –3x – 2y + 140.000 = 90.000
⇒ –3x – 2y = 90.000 – 140.000
⇒ –3x – 2y = –50.000 .......Pers.(1)
#Substitusikan Variabel Z ke dalam pers. Ketiga SPLTV
⇒2x + 2y + 3z = 130.000
⇒2x + 2y + 3(– 2x – 2y + 70.000) = 130.000
⇒ 2x + 2y – 6x – 6y+ 210.000 = 130.000
⇒ – 4x – 4y + 210.000 = 130.000
⇒ – 4x – 4y = 130.000 – 210.000
⇒ – 4x – 4y = –80.000 .......Pers.(2)
Kita peroleh SPLDV sebagai berkut :
–3x – 2y = –50.000
– 4x – 4y = –80.000
Langkah 4,
Selanjutnya, kita selesaikan SPLDV diatas dengan metode substitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Misalnya kita pilih persamaan yang kedua.
⇒ – 4x – 4y = –80.000
⇒ – 4x = 4y – 80.000
⇒ x = – y + 20.000
#Substitusikan variabel x kedalam persamaan pertama SPLDV:
⇒ –3x – 2y = –50.000
⇒ –3(– y + 20.000) – 2y = –50.000
⇒ 3y – 60.000 – 2y = –50.000
⇒ y – 60.000 = –50.000
⇒ y = –50.000 + 60.000
⇒ y = 10.000
#Selanjutnya, Substitusikan nilai y = 10.000 , ke salah satu SPLDV. Misalnya kita pilih pers. –3x – 2y = –50.000 , sehingga kita peroleh :
⇒ –3x – 2y = –50.000
⇒ –3x – 2(10.000) = –50.000
⇒ –3x – 20.000 = –50.000
⇒ –3x = –50.000 + 20.000
⇒ –3x = –30.000
⇒ x = 10.000
Terakhir,
Kita Substitusikan nilai x = 10.000 dan y = 10.000, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x + 2y + z = 70.000 sehingga kita peroleh :
⇒ 2x + 2y + z = 70.000
⇒ 2(10.000) + 2(10.000) + z = 70.000
⇒ 20.000 + 20.000 + z = 70.000
⇒ z + 40.000 = 70.000
⇒ z = 70.000 – 40.000
⇒ z = 30.000
Diperoleh nilai :
x (mangga) = 10.000
y (jeruk) = 10.000
z (anggur) = 30.000
Jadi, harga mangga per kg adalah Rp.10.000, harga jeruk per kg adalah Rp.10.000 , dan harga anggur per kg adalah Rp.30.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x + 2y + z = 70.000
⇒ 2(10.000) + 2(10.000) + 30.000 = 70.000
⇒ 20.000 + 20.000 + 30.000 = 70.000
⇒ 70.000 = 70.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ x + 2y + 2z = 90.000
⇒ 10.000 + 2(10.000) + 2(30.000) = 90.000
⇒ 10.000 + 20.000 + 60.000 = 90.000
⇒ 90.000 = 90.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ 2x + 2y + 3z = 130.000
⇒ 2(10.000) + 2(10.000) + 3(30.000) = 130.000
⇒ 20.000 + 20.000 + 90.000 = 130.000
⇒ 130.000 = 130.000 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
Demikianlah artikel kali ini yang dapat saya sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi dapat membantu sobat Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang belajar matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam Sukses & Happy Learning....!!!
Related Posts
Tambahkan Komentar Sembunyikan