Kali ini saya akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode gabungan (eliminasi & substitusi). Bagi adik-adik yang penasaran seperti apa cara menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan (eliminasi & substitusi). Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini sampai selesai yach.
Pengertian SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut adalah satu. Bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Keterangan:
a1, a2, a3 = koefisien dari x
b1, b2, b3 = koefisien dari y
c1, c2, c3 = koefisien dari z
d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Pengertian Metode Gabungan
Metode Gabungan adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara menggunakan dua metode sekaligus yakni metode eliminasi dan metode substitusi.
Pengertian Metode Eliminasi
Metode Eliminasi adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel yang memiliki koefisien yang sama, dan jika variabel tersebut tidak memiliki koefisien yang sama, maka kita harus samakan dahulu koefisiennya
Pengertian Metode Substitusi
Metode substitusi adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya.
Metode Penyelesaian SPLTV
Untuk mencari atau menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang dapat digunakan, diantaranya adalah :
- Metode Eliminasi
- Metode Substitusi
- Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
- Metode Determinan Matriks
Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari / menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode gabungan (eliminasi-substitusi) beserta contoh soalnya.
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan adalah sebagai berikut.
- Pilih bentuk variabel yang paling sederhana
- Eliminasi variabel pertama (misal z) dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPLDV
- Dari SPLDV, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel (misal x)
- Dari nilai variabel yang telah ada (misal x), substitusikan ke persamaan sebelumnya (SPLDV) untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya (misal y).
- Tentukan nilai variabel ketiga (yaitu z) berdasarkan nilai (x dan y) yang diperoleh.
#Contoh Soal 1
Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode gabungan. x + 2y + z = 6
3x − y + 2z = 17
2x + y − z = 9
PEMBAHASAN :
Untuk memudahkan proses penyelesaian, setiap persamaan linear kita beri kode nomor sebagai berikut :
x + 2y + z = 6 ............. .(1)
3x − y + 2z = 17 ............ (2)
2x + y − z = 9 ............... (3)
Langkah 1 : Eliminasi Persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh :
x + 2y + z = 6
2x + y − z = 9 [ + ]
3x + 3y = 15 ................. (4)
Langkah 2 : Eliminasi Persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh :
x + 2y + z = 6 |x 2|
3x − y + 2z = 17 |x 1|
2x + 4y + 2z = 12
3x − y + 2z = 17 [ − ]
−x + 3y = −5 ................. (5)
Langkah 3 : Eliminasi Persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh :
3x + 3y = 15
−x + 3y = −5 [ − ]
2x = 10
x = 5
Langkah 4 : Substitusikan nilai x = 5 ke persamaan (4)
⇔ 3x + 3y = 15
⇔ 3(5) + 3y = 15
⇔ 15 + 3y = 15
⇔ 3y = 15 − 15
⇔ 3y = 0
⇔ y = 0
Langkah 5 : Substitusikan nilai x = 5 dan y = 0 ke pers. (1) sehingga diperoleh :
⇔ x + 2y + z = 6
⇔ 5 + 2(0) + z = 6
⇔ 5 + 0 + z = 6
⇔ 5 + z = 6
⇔ 5 + z = 6
⇔ z = 6 – 5
⇔ z = 1Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 0 dan z = 1. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(5, 0, 1)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ x + 2y + z = 6
⇒ (5) + 2(0) + (1) = 6
⇒ 5 + 0 + 1 = 6
⇒ 6 = 6 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x − y + 2z = 17
⇒ 3(5) − (0) + 2(1) = 17
⇒ 15 − 0 + 2 = 17
⇒ 17 = 17 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ 2x + y − z = 9
⇒ 2(5) + (0) − (1) = 9
⇒ 10 + 0 − 1 = 9
⇒ 9 = 9 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
#Contoh Soal 2
Ani, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk adalah .....PEMBAHASAN :
Misalkan :
x = Harga Apel per-kg
y = Harga Anggur per-kg
z = Harga Jeruk per-kg
Langkah 1 : Buat Model Matematikanya
2x + 2y + z = 67.000 ...........(1)
3x + y + z = 61.000 ...........(2)
x + 3y + 2z = 80.000 ...........(3)
Langkah 2 : Eliminasi Persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh :
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000 [ − ]
−x + y = 6.000 ...........(Pers. 4)
Langkah 3 : Eliminasi Persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh :
3x + y + z = 61.000 |x 2|
x + 3y + 2z = 80.000 |x 1|
6x + 2y + 2z = 122.000
x + 3y + 2z = 80.000 [ − ]
5x − y = 42.000 ...........(Pers. 5)
Langkah 4 : Eliminasi Persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh :
−x + y = 6.000
5x − y = 42.000 [ + ]
4x = 48.000
x = 12.000
Langkah 5 : Substitusikan nilai x = 12.000 ke persamaan (4)
⇔ −x + y = 6.000
⇔ −12.000 + y = 6.000
⇔ y = 6.000 + 12.000
⇔ y = 18.000
Langkah 6 : Substitusikan nilai x = 12.000 dan y = 18.000 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + z = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + z = 67.000
⇒ 60.000 + z = 67.000
⇒ z = 67.000 − 60.000
⇒ z = 7.000
Jadi, harga Apel per kg adalah Rp.12.000, harga Anggur per kg adalah Rp.18.000 , dan harga Jeruk per kg adalah Rp.7.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik dapat mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + 7.000 = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + 7.000 = 67.000
⇒ 67.000 = 67.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + z = 61.000
⇒ 3(12.000) + (18.000) + (7.000) = 61.000
⇒ 36.000 + 18.000 + 7.000 = 61.000
⇒ 61.000 = 61.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x + 3y + 2z = 80.000
⇒ (12.000) + 3(18.000) + 2(7.000) = 80.000
⇒ 12.000 + 54.000 + 14.000 = 80.000
⇒ 80.000 = 80.000 (BENAR)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
Demikianlah artikel kali ini yang dapat saya sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi) dapat membantu sobat Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang belajar matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam Sukses & Happy Learning....!!!
Related Posts
Tambahkan Komentar Sembunyikan